话不多说，先来看看顶尖数学大师们对这本书的评价：
数学家，菲尔兹奖得主陶哲轩说“这本书展现了一段真诚的数学之旅：数学思考是一段充满探索与犯错，并需要逐步纠正错误、提升理解力的精彩旅程。”
数学家，菲尔兹奖得主雨果·杜米尼-科潘评价这本书说“精彩！如果你好奇我们做数学时在想什么，那你就必须读一读这本书。”
《欢乐数学》作者本·奥林说：这是一本能帮助人们提升数学能力的罕见好书。书中充满了俏皮的故事，以及富有创造力的指导性意见，能助你成为更好的“数学人”。
《微积分的力量》作者史蒂夫·斯托加茨赞誉说：我完全被这本书迷住了。无论你爱数学还是误以为自己恨数学，都应该读一读这本书。它讲清楚了数学究竟是什么。我真的无法形容自己有多喜欢这本书。这是我长久以来读过的最精彩的书之一。
期待值直接拉满！
《数学觉醒：学会更清晰地思考》这本书是毕业于巴黎高等师范学院（ENS）数学专业的戴维·贝西（David Bessis）所著，书中揭示了数学思维才是高级“软实力”，全书几乎不用任何一个公式做到，深入浅出的语言，进而让人人都能具备清晰思考的能力。
也因此，这本书一上市就成为打动全球数学家和“学霸”的奇书。
今天就让我们一起看看这本书的精彩之处吧！
来源 | 《数学觉醒：学会更清晰地思考》
作者 | [法]戴维·贝西（David Bessis）
译者 | 赵晓蕊
第三章 思想的力量
（阅读本书）
想象一个完美无缺的圆形。一个最普通的圆，你看到它了吗？在现实生活中，完美的圆并不存在。当你在纸上画一个圆时，它总会有些小瑕疵。无论是太阳、自行车车轮，还是水面上的涟漪，它们都不是完美的圆。但这不会妨碍你理解我的意思，或想象出一个完美的圆。
你不仅可以想象这个圆，还能真的看到它。你可以在脑海中移动它，将它放大或缩小，也可以随心所欲地摆弄它。
看到现实生活中不存在的东西，感受它就在你的面前，在脑海中自由移动它，仿佛你可以触摸它——这就是你的魔法之一。
在真正理解数学的道路上，这里就是你的起点。
01
了不起的抽象能力
完美的圆是一种数学抽象。如果圆对你来说是熟悉的物体，那是因为你和其他所有人一样，拥有与生俱来的数学抽象能力。
你的抽象能力不仅限于数学。无论你是否愿意，你都会花时间抽象地看待世界。这是你的身体的生理特征。你的大脑是一台机器，从你的感觉输入中创造抽象概念并在思想上控制它，就像你的肺从空气中提取氧气，并将其转移到血液中一样。
这怎么可能呢？我们将在第 19 章谈论这个主题，看看大脑结构如何自然地制造和控制抽象概念。
在那之前，即使你不完全理解这种奇迹是如何发生的，你也必须承认：你可以看到一个圆。
02
了不起的推理能力
一条直线能与圆相交于三个点吗？
别急，这里没有陷阱。试着自己找到答案，想象一条直线与圆相交的所有方式，看看是否在某些情况下形成了三个交点。
结果是否定的，一条直线不能与圆相交于三个点。
你觉得答案是显而易见的吗？这是因为你和其他所有人一样，拥有了不起的数学推理能力。你不仅可以想象直线和圆等抽象物体，还可以问出关于这些物体的抽象问题，并在脑海中控制它们，从而找到这些问题的答案。
答案对你来说是显而易见的，但如果有人告诉你，他没有理解，你该怎么办？
你可能会试着从头解释：“你看这儿……”但这么做收效甚微。对方之所以不能理解，是因为他不能像你那样清楚地看到圆和直线。解释数学道理，就是让别人看到他们未曾见过的东西。
你的推理同时用到了直觉和视觉。在你的脑海中，它看起来像一部动画片，主角是一个圆和一条直线。这种推理非常有效，但很难用语言表达。语言无法完全表达你在脑海中看到的所有微妙之处。
经过数学训练，你可以学会把视觉直觉转化为严格的证明。这种转化永远不会完美。即使是简单的直觉，表达起来也很费口舌。它在脑海里非常简单，一旦写下来，就变得困难而复杂了。
03
了不起的直觉
能看到你脑海里想什么的人，唯有你自己。只有将你在脑海中看到的事物严谨地转译为语言和符号，你才能与他人交流——尽管这个过程非常辛苦。这也是你确保直觉没有出错的唯一方法。
因为你的直觉有时会出错。
你对此非常清楚，尽管你不喜欢别人提醒你这一点。想激怒一个人，取笑他的外表屡试不爽，但说他的直觉有错也几乎能达到同样的效果。一般来说，这种做法会触发以下两种防御机制之一：要么这人觉得自己没用，产生自卑情结，不再思考；要么他觉得自己一定是对的，认定他人愚不可及（同时也不再思考了）。
然而，还有第三种可能。当爱因斯坦或笛卡儿被人指出直觉有错时，他们没有感到沮丧。他们不会妄自菲薄，更不会蔑视他人。他们会产生另一种反应——如何产生这种反应，也是贯穿本书的主题之一。
在学校里，我们被教导要对直觉保持警惕，这里犯了两个错误——它们是阻碍你的智力发展的重大错误。
错误一：夸大事实。你的愤怒并无必要。确实，你的直觉有时会出错，但不会一直出错。你的直觉通常是对的。你可以让它正确的次数越来越多。经过训练，它可以看得更清楚、更仔细。数学家也曾和你站在同一个起点上，建立了强大、可靠、富有远见的直觉。他们用简单的方法（比如本书中教授的方法）做到了这一点。
错误二：学校往往只强调了直觉的局限性，却不提直觉的优势。直觉是不完美的——你将这一点牢记在心。这个信息确实重要，但学校忽略了另一条更重要的信息： 你的直觉是你最强大的智力之源。 从某种意义上说，它甚至是你唯一的智力之源。
这些可不是空话，我不打算说些废话来奉承你。
这一切的背后隐藏着一条深刻的生物学真理，我们会在后文中详细讨论。这是非常实际的道理，你已经体验过无数次了。你很清楚，背诵、应用现成的方法，或逐行推理，并不是真正的理解。这就是为什么你永远不会完全相信逻辑论证，而是更愿意依赖直觉来理解。
04
想象力的天赋
你早就知道，自己的直觉十分强大。你不敢坚定地大声说出来，但你总是暗中相信自己的直觉。
你可能不知道，在所有伟大的科学革命和最困难的数学理论的背后，都是直觉在发挥作用，这些直觉总是与你的直觉一样简单。
爱因斯坦脑海里的一部动画片使他提出了相对论，这部动画片并不比让你看到一条直线不能与圆相交于三个点的图更复杂。
当爱因斯坦说他相信直觉时，他指的并不是一种与我们截然不同的、与生俱来的特殊直觉。如果他真的是这么想的，他就不会说自己“没有特别的天赋”了。
尽管令人困惑，但我们必须接受这个现实。爱因斯坦谈论的是普通的直觉，即人人都有的直觉，人们通常认为它不够成熟，学校也教我们不要相信它。
爱因斯坦说的就是我们想象事物的能力。这份天赋人人有份，你可能觉得它不起眼，但它弥足珍贵，我们也无法奢求更多。
如果你像爱因斯坦一样，学会利用简单而单纯的想象力，成为你这个时代最伟大的物理学家，你也会像他一样，说伟大的科学发现只来自好奇心（而人们不会把你的话当真）。
即使你没有提出相对论，你也已经做出一些让人刮目相看的事情了。
你可以在脑海中看到一个圆。
你可以在脑海中移动它。
你可以从视觉上向自己证明，一条线不能与圆相交于三个点。
闭上眼睛站着不动，你就能完成这一切。也就是说，你可以通过思想的力量来完成它。
据我们所知，这种生物学能力似乎专属于人类。如果河马也知道如何做到这一点，它们可藏得挺深。
如果你成功做到了这些事，那就放心吧：你所拥有的遗传潜力和智力，能让你成为非常擅长数学的人。从生物学的角度来看，这些就够了。真诚、耐心、勇气和愿望——尽管这些因素不是遗传的，但你也可以轻松拥有。
05
构建清晰有力的图像
伟大的想法总是直观而简单的，甚至简单得不可思议。我们也只能理解显而易见的东西。如果某些东西并不显而易见，那是因为它们还没有被真正理解。
这是一条关于人类认知的普遍见解：我们的科学是由人类发明的，从更深的层次来讲，人类都是由相同的物质组成的。
一些人本来只是试图理解一些东西，却在这个过程中做出了伟大的发现。他们只想把事物弄清楚，使其显而易见。他们就算不明白，也不会装成理解了的样子。他们继续寻找正确的道路、正确的心理图像、正确的观察方式，直到事物变得显而易见。
好消息是，用这种方法，他们只能发现显而易见的东西。你总有一天也会对这些东西有同样的感受，所以你没有理由被吓倒。
这种方法适用于所有智力创造领域，尤其是数学领域。数学知识并不基于实验数据，无须积累百科全书式的知识。特别是，数学书里除了显而易见的证明，貌似什么也没有（这里的意思是，数学基于清晰的证明，这意味着每个结果都可以分解为一组显而易见的推论。）
矛盾之处在于，要使一件事显而易见，你必须首先构建心理表征。一旦构建好，你就可以轻松地看到这些心理图像。但构建心理表征需要耗费大量时间和精力。
不知不觉中，你已经为“什么是圆”构建了一个相当好的心理图像。你必须对其他物体重复对圆所做的事情，并构建其他心理图像，然后结合它们来构建更多的心理图像。
没有人天生就拥有现成的图像，也没有人立即就能构建这些图像。
构建这些图像花费的时间比我们想象的要更长。对每个人来说，它都由迟疑、试错、迷路和重启组成。这个过程将持续我们一生。
无论你是否研究数学，你对世界的看法和心理图像都在不断演变。
数学家的传说就是从这里开始的。这不是成为超人的神奇秘诀，而是帮你构建更好的心理图像的简单原则。这里的关键在于，你能否重拾构建自己的世界观的方式。
你知道，想保持健康，就要锻炼身体、多吃蔬果、洁身自好、睡眠充足。但你能说出一些有助于构建清晰有力的心理图像的基本原则吗？
人们一直都说要进行逻辑思考，然而你暗下决心，只相信自己的直觉——但直觉的问题，还没被真正解决。
你只会毫无章法地应付问题，并错误地认为自己的直觉时对时错，要是这样，你就无法做出进一步的发现了。在这种情况下，不管你能成功学会什么，都是一个奇迹。
在下一章中你将看到，你已经拥有了坚实的数学直觉。也许你自认为数学很差，但其实你已经理解的数学概念，在 99% 的人类历史中是只有天才才能理解的。你已经构建出了清晰、有力的心理图像，并且每天都在使用它们。
《数学觉醒：学会更清晰地思考》
作者：[法]戴维·贝西（David Bessis）
译者：赵晓蕊
菲尔兹奖得主陶哲轩、雨果·杜米尼强推！《欢乐数学》作者本·奥林、《微积分的力量》作者史蒂夫·斯托加茨、《数学的逻辑》作者郑乐隽、数学巨匠伊恩·斯图尔特等诚挚推荐！
打动全球顶级数学家的奇书！全书没有一个公式却讲透数学思维这一高级“软实力”！让数学帮我们培养清晰思考的能力，塑造认知和思维！掌握真正有用的学习能力。
（阅读本书）
作者：[法] 米卡埃尔•洛奈（Mickaël Launay）
译者：欧瑜
惊讶！是思考的起点；
数学，是理解世界本质与万物关联的工具！
以数学为起点，以思考为快乐！
法国数学学会“达朗贝尔奖”得主科普名作。
数学，是理解世界本质与万物关联的工具，它能制造两个指南针：一个叫“实用”，一个叫“优雅”。不懂得数学的意义，就无法真正学习和理解数学。
科学家为什么那么聪明？因为他们有非凡的思考方法。
以数学为工具，以思考为快乐；培养自己的思考力、观察力，成为真正的思考者。
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